Как решить систему уравнений методом Гаусса?

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Фактически, нашей целью является получение треугольной матрицы. Треугольная матрица — это матрица, у которой под главной диагональю все значения равны нулю. Пример треугольной матрицы:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Рассмотрим систему линейных уравнений:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ≠ 0, затем:

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

Получим:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc, где %d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Как видим, множитель при всех x1 во всех уравнениях, кроме первого, стал равен нулю.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Вместо сложных формул, которые всё равно очень трудно понять, давайте перейдём сразу к примерам, они нагляднее продемонстрируют, что именно нужно делать.

Примеры решения системы уравнений методом Гаусса

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Составим расширенную матрицу системы.

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Обратите внимание, что первая цифра второй строки содержит единицу. Для удобства вычисления поменяем вторую и первую строки местами (также с этой же целью можно было бы поменять местами второй и первый столбцы):

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Теперь умножаем первую строку на первую цифру второй строки (т. е. на 2) и вычитаем полученную строку из этой самой второй строки. Далее умножаем первую строку на первую цифру третьей строки (т. е. на 7) и вычитаем из полученный результат из этой третьей строки:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Теперь следовало бы числа второй строки поделить на первое, отличное от нуля, число, т. е. на 5. А затем умножаем полученную строку на первое число третьей строки (отличное от нуля) и вычесть этот результат из третьей строки. Но поскольку первое ненулевое число второй строки кратно первому ненулевому числу третьей строки, то мы просто умножаем вторую строку на 3 и вычитаем из третьей строки:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Из третьего уравнения получаем, x3 = 2. Далее мы подставляем x3 в третье уравнение и находим x2 = 5. Теперь подставляем x3 и x2 в первое уравнение и находим x1 = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Составим расширенную матрицу системы, затем поменяем местами вторую и первую строки. Далее умножим первую строку на первое число второй строки (т. е. на 5) и полученную новую строку вычтем из этой самой второй строки. Также первую строку умножим на первое число третьей строки (т. е. на 4) и полученный результат вычтем из третьей строки:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Теперь поменяем вторую и третью строки местами (для упрощения расчётов), поделим все числа второй строки на одно число — на -5, это также делается для упрощения последующих расчётов.

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Умножим числа второй строки на первое ненулевое число третьей строки (-11) и полученный результат вычтем из третьей строки:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Решить систему уравнений методом Гаусса

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Р е ш е н и е. Имеем

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, и для проведения обратного хода составляем систему последней матрице, эквивалентной исходной расширенной матрицы системы:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b8%d1%82%d1%8c-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d1%83-%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b9-%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc

Из последнего уравнения находим x3 = 1, подставляя найденное x3 во второе уравнение, найдём x2 = 1 — x3 = 0. Из первого уравнения найдём x1 = 5 — 2×2 — 4×3 = 1.

Заключение

Метод сводиться к получению треугольной матрицы из первоначальной расширенной матрицы. Для достижения этого результата используются элементарные преобразования матриц. При получении треугольной матрицы, из последней её строки находиться значение первой неизвестной, это значение подставляется в предпоследнее уравнение и находиться вторая неизвестная и т.д.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Поиск по сайту