Преобразование координат

Пусть новая система координат x'O'y' получается в результате параллельного переноса xOy в точку с новым началом координат O' (a; b).

Выпишем формулы для выражения старых координат x и y точки через новые x' и y'

%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d1%8f-%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82_html_2f31349619f8e893

Новые координаты точки через старые выражаются так

%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d1%8f-%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82_html_dd749aebcf464aae

Пусть новая система координат x'O'y' получается поворотом старой системы xOy на угол φ. Отметим, что угол φ считается положительным, если поворот производится против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой.

Старые координаты точки выражаются через новые по формулам:

%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d1%8f-%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82_html_aa96712bd6fd576d

Новые координаты точки выражаются через старые по формулам:

%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d1%8f-%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82_html_3a2932a78d0e9018

При суперпозиции (т. е. при переносе и повороте осей в произвольном порядке) указанных преобразований декартовых координат связь между ними определяется формулами:

%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d1%8f-%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82_html_e9c9f280b410168e

Примеры выполнения заданий с преобразованием координаты

Систему координат XOY вначале параллельно перенесли так, что новое начало стало находиться в точке O'(2,3), а затем был совершён поворот осей на угол φ = 30°. Определить новые координаты точки A, если старые координаты в системе XOY таковы: A(-1, 5). Определить, какие координаты имела точка B в старой системе XOY, если в новой системе координат она задаётся как B(4, -2).

Р е ш е н и е:

а) при параллельном переносе координат, координаты точки A станут такими:

%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d1%8f-%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82_html_ea7516a7a16bb8b3

При повороте осей на угол 30°, координаты точки A преобразуются следующим образом:

%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d1%8f-%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82_html_9ff8e0cf730e00c0

б) в системе координат XOY точка B имеет координаты:

%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d1%8f-%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82_html_cab95da23b78355d

В системе координат XOY точка B имеет координаты:

%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d1%8f-%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82_html_c21efeb3b2f1907

О т в е т: x''A ≈ 0,722; y''A ≈ 3,598; xB ≈ 5,732; yB ≈ 5,464.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Поиск по сайту