Деление векторов в данном соотношении

Пусть вектор %d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8 задан координатами своего начала A(ax; ay; az) и конца B(bx; by; bz) и пусть точка C(cx; cy; cz) расположена между точка A и B

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

пусть при этом известно соотношение длин векторов

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

тогда координаты точки C(cx; cy; cz) находятся по формулам

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

Примеры решения заданий по делению векторов и отрезков

Отрезок AB точками C(3, 4) и D(5, 6) разделён на три равные части. Найти координаты точек A и B.

Р е ш е н и е. Обозначим координаты точек A и B так: А(x1, y1), B(x1, y1). Для отрезка AD точка C является серединой, потому λ = AC / CD = 1 и по формулам деления отрезка в данном соотношении

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

получим

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

Подставим в последнее равенство координаты xc, yc, xd, yd:

3 = (x1 + 5)/2,           4 = (y1 + 6)/2,

откуда находим, x1 = 1, y1 = 2. Точка A имеет координаты A(1, 2).

Поскольку точка D есть середина отрезка CB, то xd = (xc + x2)/2, или 5 = (3 + x2)/2, отсюда x2 = 7.

yd = (yc + y2)/2, 6 = (4+y2)/2,

отсюда y2 = 8. Получили B(7, 8).

О т в е т: A(1, 2), B(7, 8).

 

Даны вершины треугольника A(2, -4), B(4, -5) и C(-4, 7). Определить середины его сторон.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой для определения середин сторон отрезка, при известных двух точках:

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

Поскольку отрезки делятся на равные части, то

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

Тогда формула приобретает вид:

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

Координата x для отрезка AB равна (2+4)/2 = 3, координата y для отрезка AB равна (-4-5)/2 = -4,5.

Координата x для отрезка AC равна (2-4)/2 = -1, координата y для отрезка AC равна (-4+7)/2 = 1,5.

Координата x для отрезка BC равна (4-4)/2 = 0, координата y для отрезка BC равна (-5+7)/2 = 1.

О т в е т: искомые точки имеют координаты (3; -4,5), (-1; 1,5) и (0; 1).

 

Даны три вершины параллелограмма A(2, -4), B(4, -2), C(-2, 4). Определить четвёртую вершину D, противоположную B.

Р е ш е н и е. Найдём точку, в которой пересекаются диагонали параллелограмма.

Назовём точку пересечения диагоналей точкой E.

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

Поскольку этой точкой диагонали делятся на два равных отрезка

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

то формула приобретает вид:

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

Найдём середину отрезка AC:

Ex = (2-2)/2 = 0

Ey = (-4+4)/2 = 0

Итак, точка E имеет координаты (0, 0).

Данная точка также является серединой отрезка BD, поскольку это вторая диагональ параллелограмма. Тогда

0 = (Bx+Dx)/2,

подставим известные значения:

0 = (4+Dx)/2

откуда Dx = -4

Теперь найдём вторую координату:

0 = (By+Dy)/2,

подставим известные значения:

0 = (-2+Dy)/2

откуда Dy = 2

О т в е т: D(-4, 2).

 

Даны вершины треугольника A(2, 3); B(4, -10); C(-4, 1), определить длину его медианы, проведённой из вершины B.

Р е ш е н и е. Назовём точку пересечения медианы и стороны AC точкой D. Поскольку медиана делит сторону треугольника пополам, то воспользуемся формулой нахождения координат точки посередине отрезка:

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

Dx = (2-4)/2 = -1

Dy = (3+1)/2 = 2

Точка D имеет координаты (-1, 2).

Воспользуемся формулой нахождения длины отрезка, когда известны координаты его крайних точек:

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2-%d0%b2-%d0%b4%d0%b0%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc-%d1%81%d0%be%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8

О т в е т: Длина медианы, проведённой из вершины B, равна 13.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Поиск по сайту