Любую совокупность действительных чисел (x1; x2; …;xn) будем называть точкой, а сами числа — координатами этой точки.
Будем обозначать точки большими латинскими буквами, а координаты записывать в круглых скобках X (x1; x2; …;xn).
Точку (0; 0; …;0) будем называть началом координат и обозначать O.
Пусть A(a1; a2; …; an) и B(b1; b2; …; bn) – две точки. Назовём вектором величину, определяемую следующим образом: Точка A(a1; a2; …; an) называется началом вектора, а точка B(b1; b2; …; bn) – концом.
Векторы также будем обозначать с помощью двух больших или одной маленькой латинских букв со стрелкой сверху, указывая их координаты в фигурных скобках:
Два вектора
с одним и тем же числом координат называются равными в том и только в том случае, если равны соответствующие координаты a1 = b1; a2 = b2; …; an = bn.
Длиной (или модулем) вектора назовём величину
Вектор называется нулевым вектором.
Вектор называется противоположным вектором по отношению к вектору
Произведением вектора
на действительное число λ называется вектором
Векторы
удовлетворяющие соотношению
называются коллинеарными.
Условие коллинеарности двух векторов в векторной форме:
Условие коллинеарности двух векторов
в координатной форме таково:
Свойства операции умножения вектора на число
Назовём ортами векторы, имеющие только одну координату, равную единице, при этом остальные координаты равны нулю:
Заметим, что длина орта равна единице:
Назовём двумерной декартовой прямоугольной системой координат (декартовой прямоугольной системой на плоскости) такую, которая определяется двумя ортами и , исходящими из единого начала O(0; 0), называемого началом координат. Множество концов векторов , где , коллинеарных орту , называется осью абсцисс. Множество концов векторов , где , коллинеарны орту , называется осью ординат.
Назовём трёхмерной декартовой прямоугольной системой координат (декартовой прямоугольной системой координат в пространстве) такую, которая определяется тремя ортами , и , исходящими из единого начала O(0; 0; 0), которое называется началом координат. Множество концов векторов , где , коллинеарных орту , называется осью абсцисс. Множество концов векторов , где , коллинеарных орту , называется осью ординат. Множество концов векторов , где , коллинеарных орту , называется осью аппликат.
Суммой двух векторов
с одним и тем числом координат называется вектор , координаты которого удовлетворяют условиям ci = ai + bi, i = 1, 2, …, n.
В двумерной и трёхмерной декартовых прямоугольных системах координат сложение векторов по указанному способу соответствует сложению по правилу треугольника или (что то же самое) по правилу параллелограмма.
Правило треугольника. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .
Правило параллелограмма. Если неколлинеарные векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма + (или + ) этих векторов представляет собой диагональ указанного параллелограмма, идущую из общего начала.
Разностью векторов
с одним и тем же числом координат называют вектор
В двумерной и трёхмерной декартовых системах координат разность векторов находится по правилу треугольника.
Свойства операции нахождения суммы векторов:
Векторы, в двумерной и трёхмерной прямоугольных декартовых системах координат могут быть соответственно представлены с помощью разложения по ортам:
Проекцией вектора на ось u называется величина направленного отрезка оси u (A1 и B1 — основания перпендикуляров на ось и из точек A и B соответственно).
Координаты векторов в двумерной и трёхмерной декартовых прямоугольных системах координат равны проекциям эти векторов на соответствующие оси координат.
Точка A(x; y) изображается в двумерной декартовой прямоугольной системе координат как конец вектора , если начало этого вектора фиксировано в начале координат.
Примеры решения заданий по координатам точки и вектора
Даны точки A(1, 2, -2) B(3, 1, 4). Найти координаты векторов и . Найти и .
Р е ш е н и е. Координаты векторов и находятся как разности соответствующих координат конца и начала векторов, т. е. разность соответствующих координат точек A и B.
Имеем таким образом,
Очевидно, что координаты вектора противоположны по знаку координатам вектора , т. е.
Длина или модуль вектора находятся по формуле
Подставляя координаты вектора в формулу, получим:
Очевидно, что
- Деление векторов в данном соотношении (100%)
- Преобразование координат (100%)
- Произведение (перемножение) матриц (50%)
- Как вычислить определитель (детерминант) матрицы? Минор и алгебраическое дополнение (50%)
- Как найти обратную матрицу? (50%)
- Как решить систему линейных уравнений матричным методом? (RANDOM - 50%)