Координаты точки и вектора

Любую совокупность действительных чисел (x1; x2; …;xn) будем называть точкой, а сами числа — координатами этой точки.

Будем обозначать точки большими латинскими буквами, а координаты записывать в круглых скобках X (x1; x2; …;xn).

Точку (0; 0; …;0) будем называть началом координат и обозначать O.

Пусть A(a1; a2; …; an) и B(b1; b2; …; bn) – две точки. Назовём вектором %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_288d82cb42c97561 величину, определяемую следующим образом: %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b2406a945c9e23af Точка A(a1; a2; …; an) называется началом вектора, а точка B(b1; b2; …; bn) – концом.

Векторы также будем обозначать с помощью двух больших или одной маленькой латинских букв со стрелкой сверху, указывая их координаты в фигурных скобках: %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_e83d807efdd6e7b1

Два вектора

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_ea1d78307b8e74ab

с одним и тем же числом координат называются равными в том и только в том случае, если равны соответствующие координаты a1 = b1; a2 = b2; …; an = bn.

Длиной (или модулем) вектора назовём величину %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_920a5f72842004bd

Вектор %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_c3a37057a3416e6d называется нулевым вектором.

Вектор %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b872dc5d4948da76 называется противоположным вектором по отношению к вектору

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_a650c889fb6f0810

и обозначается так: %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_d97b776d00fbc8b5

Произведением вектора

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_a650c889fb6f0810

на действительное число λ называется вектором

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_9bacc56e26ea11a7

Векторы

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_ccf5759948a5f951

удовлетворяющие соотношению

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_6dbbdb1bb30f1b04

называются коллинеарными.

Условие коллинеарности двух векторов в векторной форме:

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b6126d82a2fc294c

Условие коллинеарности двух векторов

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_ccf5759948a5f951

в координатной форме таково:

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_7f119dfd775fd7ab

Свойства операции умножения вектора на число

  1. %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_371208a86d04ac61 здесь k и λ — действительные числа.
  2. %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_2731c6b5236fbdc3

Назовём ортами векторы, имеющие только одну координату, равную единице, при этом остальные координаты равны нулю:

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_d2f38745907578c0

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b72a4b50444b1549

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_e1a93929cc8832a7

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_ca760e4e5472b510

Заметим, что длина орта равна единице: %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_4f17f511a4078759

Назовём двумерной декартовой прямоугольной системой координат (декартовой прямоугольной системой на плоскости) такую, которая определяется двумя ортами %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_1275a35a0bf67cdf и %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_a0b9d7943c1a9f5c, исходящими из единого начала O(0; 0), называемого началом координат. Множество концов векторов %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_e68a72c93dedc78f, где %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_d720b50e290fef73, коллинеарных орту %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_db552063f065241, называется осью абсцисс. Множество концов векторов %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_33f965147c82513a, где %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_d3974b76b0e5b48b, коллинеарны орту %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_a0b9d7943c1a9f5c, называется осью ординат.

Назовём трёхмерной декартовой прямоугольной системой координат (декартовой прямоугольной системой координат в пространстве) такую, которая определяется тремя ортами %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_d94198d5b70dcc15, %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_c53e9124c7143350 и %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_68c42cd6877c65fa, исходящими из единого начала O(0; 0; 0), которое называется началом координат. Множество концов векторов %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_eccfaefe82ecdc0b, где %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_d720b50e290fef73, коллинеарных орту %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_d94198d5b70dcc15, называется осью абсцисс. Множество концов векторов %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_e8d5967c92395513, где %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_d3974b76b0e5b48b, коллинеарных орту %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_c53e9124c7143350, называется осью ординат. Множество концов векторов %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b311d74cfdc22ab4, где %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_987447af310dea06, коллинеарных орту %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_68c42cd6877c65fa, называется осью аппликат.

Суммой двух векторов

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_ccf5759948a5f951

с одним и тем числом координат называется вектор %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_d79721ce0b0104c2, координаты которого удовлетворяют условиям ci = ai + bi, i = 1, 2, …, n.

В двумерной и трёхмерной декартовых прямоугольных системах координат сложение векторов по указанному способу соответствует сложению по правилу треугольника или (что то же самое) по правилу параллелограмма.

Правило треугольника. Суммой двух векторов %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b91c79b95803aa79 и %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_aab11accf18f2020 называется вектор, идущий из начала вектора %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b91c79b95803aa79 в конец вектора %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_aab11accf18f2020 при условии, что вектор %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_aab11accf18f2020 приложен к концу вектора %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b91c79b95803aa79.

01

Правило параллелограмма. Если неколлинеарные векторы %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b91c79b95803aa79 и %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_aab11accf18f2020 приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b91c79b95803aa79 + %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_aab11accf18f2020 (или %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_aab11accf18f2020 + %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b91c79b95803aa79) этих векторов представляет собой диагональ указанного параллелограмма, идущую из общего начала.

02

Разностью векторов

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_ccf5759948a5f951

с одним и тем же числом координат называют вектор

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_68b7e1f93f6619df

В двумерной и трёхмерной декартовых системах координат разность векторов находится по правилу треугольника.

05

Свойства операции нахождения суммы векторов:

  1. %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_6abee266e17e0176
  2. %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_9348b1de78049694
  3. %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_659e6fd8ad035c45
  4. %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_36c34af35cdeb9d4

Векторы, в двумерной и трёхмерной прямоугольных декартовых системах координат могут быть соответственно представлены с помощью разложения по ортам:

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_5d98dd80c6abf81f

Проекцией вектора %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_ff47932c59412c64 на ось u называется величина направленного отрезка %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_979cdbb273080c6f оси u (A1 и B1 — основания перпендикуляров на ось и из точек A и B соответственно).

06

Координаты векторов в двумерной и трёхмерной декартовых прямоугольных системах координат равны проекциям эти векторов на соответствующие оси координат.

Точка A(x; y) изображается в двумерной декартовой прямоугольной системе координат как конец вектора %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_c4f49a1574cdc26b, если начало этого вектора фиксировано в начале координат.

07

Примеры решения заданий по координатам точки и вектора

Даны точки A(1, 2, -2) B(3, 1, 4). Найти координаты векторов %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_82a90ec2eea9a31 и %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_12ca2e1327974647. Найти %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_fd3be493b7dff991 и %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_14bbf375d42c7ff1.

Р е ш е н и е. Координаты векторов %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_82a90ec2eea9a31 и %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_12ca2e1327974647 находятся как разности соответствующих координат конца и начала векторов, т. е. разность соответствующих координат точек A и B.

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b2406a945c9e23af

Имеем таким образом,

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_e9152da270eb3eee, т. е. %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_4a923940109f20e.

Очевидно, что координаты вектора %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_12ca2e1327974647 противоположны по знаку координатам вектора %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_82a90ec2eea9a31, т. е.

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_4268ef7b0b5eb104 и %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_be9faf9e8ee58ac0.

Длина или модуль вектора %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_82a90ec2eea9a31 находятся по формуле

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_e0b4a9822456d38a

Подставляя координаты вектора %d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_e0b4a9822456d38a в формулу, получим:

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_b9e6c86660ee5ffd

Очевидно, что

%d0%ba%d0%be%d0%be%d1%80%d0%b4%d0%b8%d0%bd%d0%b0%d1%82%d1%8b-%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b8-%d0%b8-%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0_html_862c02b8807ae4ae

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Поиск по сайту