Произведение (перемножение) матриц

Произведением матрицы A размеров (m; k) на матрицу B размеров (k; n) называется матрица C = AB размеров (m; n) = (m; k)(k; n), каждый элемент которой получается по правилу умножения «строка на столбец»:

• c₁₁ = элемент a₁₁ первой строки матрицы A, умноженный на элемент b₁₁ первого столбца матрицы B, элемент a₁₂ первой строки матрицы A, умноженный на элемент b₂₁ матрицы B, + …, + элемент a_1k первой строки матрицы A, умноженный на элемент b_k1 первого столбца матрицы B; …;
• c_ij = элемент a_i1 i-й строки матрицы A, умноженный на элемент b_1j j-го столбца матрицы B, + элемент a_i2 i-ной строки матрицы A, умноженный на элемент b_2j j-го столбца матрицы B, + …, + элемент a_ik i-ной строки матрицы A, умноженный на элемент b_kj j-го столбца матрицы B; …;
• c_mn = элемент a_m1 m-й строки матрицы A, умноженный на элемент b_1n n-го столбца матрицы B, + элемент a_m2 m-ной строки матрицы A, умноженный на элемент b_2n n-го столбца матрицы B, + …, + элемент a_mk m-ной строки матрицы A, умноженный на элемент b_kn n-го столбца матрицы B.

Таким образом, элементы c_ij определяются по формуле:

т. е. элементы матрицы C – c_ij, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца B:

Из сформулированного определения операции перемножения матриц вытекает, что матрицу А можно умножать на матрицу В только в случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Количество столбцов новой матрицы, полученной в ходе перемножения матриц A и B, равно количеству столбцов матрицы B, а количество строк — количеству строк матрицы A. Если перемножаются две квадратные матрицы, то получится новая квадратная матрица того же размера.

В качестве иллюстрации, давайте представим 2 матрицы, которые вместо чисел заполнены символами a11, a12, b11, b12 и т. д. Тогда при перемножении двух квадратных матриц конечная матрица получится в результате следующих арифметических действий:

А теперь проделаем эту же операцию для двух прямоугольных матриц. Конечная матрица получится в результате следующих арифметических действий:

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон в общем случае не выполняется:

Для квадратной матрицы A её степень n определяется следующим образом:

    

Перемножение матриц в wxMaxima и Maxima

Если вы введёте две матрицы и попробуете перемножить их символом * (звёздочка), то вы можете получить не тот результат, который ожидали. Символ звёздочка поэлементно перемножает матрицы. Для выполнения некоммутативного умножения нужно использовать символ . (точка).

Возведение в степень матриц в wxMaxima и Maxima

Если переменной x присвоена матрица, то такая операция:

x ^ 3;

Приведёт к поэлементному возведению в степень.

Для некоммутативного возведения в степень нужно использовать ^^:

x ^^ 3;

Некоммутативное возведение в степень -1 возвращает обратную матрицу, если она существует.

матрицы Элементы линейной алгебры