Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы

Пусть в матрице А размеров (m; n) выбраны произвольно k строк и k столбцов (k ≤ min(m; n)). Элементы матрицы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором M_kk порядка k_y или минором k-го порядка матрицы A.

Рангом матрицы называется максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы A, а любой минор порядка r, отличный от нуля, — базисным минором. Обозначение: rang A = r. Если rang A = rang B и размеры матриц A и Bсовпадают, то матрицы A и B называются эквивалентными. Обозначение: A ~ B.

Основными методами вычисления ранга матрицы являются метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований.

Метод окаймляющих миноров

Суть метода окаймляющих миноров состоит в следующем. Пусть в матрице уже найден минор порядка k, отличный от нуля. Тогда далее рассматриваются лишь те миноры порядка k+1, которые содержат в себе (т. е. окаймляют) минорk-го порядка, отличный от нуля. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k, в противном случае среди окаймляющих миноров (k+1)-го порядка найдется отличный от нуля и вся процедура повторяется.

Линейная независимость строк (столбцов) матрицы

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной независимости ее строк (столбцов).

Строки матрицы  :

называют линейно зависимыми, если найдутся такие числа λ₁, λ₂, λ_k, что справедливо равенство:

Строки матрицы A называются линейно независимыми, если вышеприведённое равенство возможно лишь в случае, когда все числа λ₁ = λ₂ = … = λ_k = 0

Аналогичным образом определяется линейная зависимость и независимость столбцов матрицы A.

Если какая-либо строка (a_l) матрицы A (где (a_l)=(a_l1, a_l2,…, a_ln)) может быть представлена в виде

Аналогичным образом определяется понятие линейной комбинации столбцов. Справедлива следующая теорема о базисном миноре.

Базисные строчки и базисные столбцы линейно независимы. Любая строка (либо столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (столбцов), т. е. строк (столбцов), пересекающих базисный минор. Таким образом, ранг матрицы A: rang A = k равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы A.

Т.е. ранг матрицы — это размерность самой большой квадратной матрицы внутри той матрицы, для которой нужно определить ранг, для которой определитель не равен нулю. Если исходная матрица не является квадратной, либо если она квадратная, но её определитель равен нулю, то для квадратных матриц меньшего порядка строки и столбцы выбираются произвольно.

Кроме как через определители, ранг матрицы можно посчитать по числу линейно независимых строк или столбцов матрицы. Он равен количеству линейно независимых строк или столбцов в зависимости от того, чего меньше. Например, если матрица имеет 3 линейно независимых строки и 5 линейно независимых столбцов, то её ранг равняется трём.

Примеры нахождения ранга матрицы

Методом окаймляющих миноров найти ранг матрицы

Р е ш е н и е. Минор второго порядка

окаймляющий минор M₂, также отличен от нуля. Однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие M₃.

равны нулю. Поэтому ранг матрицы A равен 3, а базисным минором является, например, представленный выше минор M₃.

Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Используя эти преобразования, можно привести матрицу к виду, когда все её элементы, кроме a₁₁, a₂₂, …, a_rr (r ≤min (m, n)), равны нулю. Это, очевидно, означает, что rang A = r. Заметим, что если матрица n-го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, т. е. матрицы, у которой все элементы под главной диагональю равны нулю, то её определитесь равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Это свойство можно использовать при вычислении ранга матрицы методом элементарных преобразований: необходимо с их помощью привести матрицу к треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдём, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля.

Методом элементарных преобразований найти ранг матрицы

Р е ш е н и е. Обозначим i-ю строку матрицы A символом α_i. На первом этапе выполним элементарные преобразования 

На втором этапе выполним преобразования

В результате получим

На третьем этапе мы переставили четвёртую строку на место третьей, а третью — на место четвёртой. На четвёртом этапе мы разделили элементы четвёртого и пятого столбцов на 4 и 2 и поменяли местами третий и четвёртый столбцы. Из вида матрицы, получившегося после четвёртого этапа преобразования, следует, что rang A = 3. Можно было бы продолжить преобразование матрицы A, добиваясь обнуления остальных элементов матрицы с различными индексами, но вряд ли это целесообразно при нахождении ранга матрицы. Заметим также, что получившуюся в результате элементарных преобразований нулевую строку можно было бы не писать при дальнейших преобразованиях матрицы, а просто вычеркнуть, что, очевидно, никак не повлияет на ранг исходной матрицы.

Как найти ранг матрицы в wxMaxima и Maxima

Для нахождения ранга матрицы используется функция rank:

rank матрицы метод окаймляющих миноров ранг матрицы элементарные преобразования матрицы Элементы линейной алгебры